Mathématiques I

Pour le cru 1998 du concours, un des premiers éléments positifs, très notable pour les examinateurs, a été une assez grande homogénéité des candidat(e)s présent(e)s à l'oral, ce qui facilite grandement leur évaluation comparative.

Ces candidat(e)s ont fait preuve d'une connaissance du cours en général correcte, les dépassements de programme invoqués pour résoudre tel ou tel exercice devenant très rares . Nous nous sommes également réjouis de ce que ces candidat(e)s montrent une bonne capacité d'utilisation des calculettes diverses, ceci fournissant un bon terrain expérimental et nous permettant de pousser certains exercices sur un autre terrain.

La tenue au tableau et la présentation sont globalement correctes. À quelques regrettables exceptions près, l'attitude générale est satisfaisante.

Ce qui nous paraît le plus gênant cependant est une très grande inaptitude aux calculs les plus simples : c'est bien de vouloir et de savoir éviter toute technicité mais... il y a des limites ! Citons en particulier le calcul des primitives, devenu particulièrement déficient ainsi que les majorations et la manipulation des valeurs absolues.

Dans l'ensemble, les élèves ont bien assimilé les tehniques de l'analyse et savent les appliquer dans les cas simples. Au rang des notions souvent mal "digérées" nous mettrons à nouveau : le calcul différentiel, les équations différentielles, même linéaires, et en particulier les méthodes dites de variation de la constante, les techniques élémentaires d'intégration, la notion d' image réciproque d'un ensemble par une application, les suites définies par récurrence, la notion de borne supérieure, les développements limités pour l'étude des suites réelles (que faire quand le théorème de Leibnitz ne marche pas ?), les sommes d'équivalents (si !), les fonctions de plusieurs variables pour le calcul d'extremum, le tracé des courbes en paramétrique et en polaire...

Voici maintenant une liste non exhaustive des erreurs ou difficultés fréquentes et tenaces : elle reprend quasi littéralement les erreurs commises fréquemment par les candidat(e)s ; nous voulons, par cette formulation, attirer l'attention des enseignant(e)s et leur signaler quelques unes de ces zones dangereuses dans la jungle des aberrations proférées par des élèves pourtant préparés soigneusement. Ces erreurs sont étonnantes, et pourtant trop persistantes pour qu'il ne s'agisse que d'inattention ou d'affolement.

• une série entière peut avoir un rayon
sans que la limite de soit .

• si la limite de
n'existe pas, alors... c'est la panique.

• si
, alors le module de tend vers 0.

• si
et si converge , alors converge.

• si la suite
converge vers 0 et si les sont positifs, alors la suite décroît à partir d'un certain rang.

• si
décroît, alors la suite converge.

• la suite
converge si et seulement si .

• majorer une suite ne permet pas de calculer sa limite !
• dans l'étude des séries de Fourrier, la notion de fonction de classe
par morceaux est presque toujours fausse et l'on ignore l'importance de la continuité de f dans les relations entre coefficients de f et f'.

• l'étude des équations différentielles est toujours globalement mal assimilée et mal maîtrisée. La méthode de la variation des constantes pour
est presque inconnue.

• tous les espaces vectoriels normés ne sont pas de dimension finie et il existe des applications linéaires non continues.
• l'inégalité de Taylor-Lagrange est encore au programme !
• si quelque soit X, l' intégrale de 0 à X de f converge, alors f converge sur tout
!

• si
converge sur vers alors

 

.

• une convergence difficile à étudier, celle de
 

• et en général toute autre convergence dès que le théorème de convergence dominée ne s'applique pas...
• dans le même sens, de nombreux théorèmes exprimant des conditions suffisantes sont interprétés en conditions nécessaires. Il en est ainsi de l' interversion des signes Somme et Intégrale avec la convergence uniforme.
.

.

.

• le développement limité de
est .

• si une application est monotone, alors elle est ... continue !

Nous soulignons donc une fois de plus que toutes ces notions sont au programme ; outre la vérification des grands classiques, nous nous promettons d'insister encore, lors de prochaines sessions, sur les notions d'équations différentielles, de calcul différentiel et de suites données par récurrence ainsi que sur les arcs définis "en polaire"...

Ce que nous désirerions donc : plus d'autonomie, plus d'esprit critique, moins d'erreurs de calcul.

Rappelons pour finir que les lignes qui précèdent doivent être corrigées par la remarque globale de relatif bon niveau : la dérive et les anomalies constatées sont tangibles mais les candidats sont globalement correctement préparés et adoptent souvent une bonne présentation qui rend leur commerce agréable.

Mathématiques II

Le niveau d'ensemble des candidats ne diffère pas sensiblement de celui que nous avions observé l'année précédente. Il reste convenable et il témoigne d'une bonne qualité de la formation des étudiants.

Ils sont souvent attentifs à la structure logique de l'énoncé et de leurs démonstrations et envisagent la réciproque lorsqu'elle est demandée. Mais ces remarques ne s'appliquent pas à tous les candidats : les notes s'étalent de 1 à 20 et reflètent une très grande disparité.

Cette année, plus de la moitié des exercices utilisaient Maple (Mathematica, que nous proposions également, n'a été choisi par aucun candidat). On demandait le plus souvent de compléter et de comprendre un fichier préalablement rédigé par l'examinateur. Ceci nous a permis de faire intervenir dans la composition de la note l'évaluation des compétences suivantes :

• l'aptitude à la programmation,
• l'aptitude à établir une conjecture précise, puis à profiter de cette précision pour la démontrer,
• le recul critique devant les résultats fournis par une machine,
• la compréhension d'une méthode mathématique donnée sous la forme d'une série d'instructions sous Maple.

De nombreux candidats ont fait preuve de ces qualités. D'autres au contraire avaient une connaissance beaucoup trop superficielle de Maple. Ils étaient incapables d'écrire une instruction conditionnelle ou itérative et semblaient découvrir la possibilité d'effectuer du calcul matriciel. Enfin, quelques étudiants ont avoué n'avoir jamais utilisé Maple ou Mathematica pendant l'année.

Dans les choix de nos sujets, aucune partie du programme d'"algèbre et géométrie" des deux années de la filière PC n'a été délaissée, afin qu'aucune d'entre elles ne tombe en désuétude. Comme l'année précédente, la partie la mieux maîtrisée est la réduction des endomorphismes, alors que d'autres parties sont particulièrement mal assimilées. Il s'agit de l'algèbre générale, des fractions rationnelles et, surtout, de la géométrie.

Dans le rapport 97, nous avions présenté quelques défauts fréquemment rencontrés. La plupart n'ont été retrouvés cette année que marginalement. C'est pourquoi nous dressons cette année une liste plus étendue, en espérant être aussi bien entendus qu'en 97.

• La plupart des candidats sont fâchés avec les fractions rationnelles. Il est pourtant indispensable de connaître la forme générale de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle dans
.

• En géométrie, on évite souvent de lourds calculs en se plaçant dans un repère judicieusement choisi.
• La notion d'application affine est souvent complètement inconnue.
• Les notions d'angles entre deux droites ou deux plans dans l'espace sont méconnues. Notamment, beaucoup de candidats perdent du temps à étudier le signe du sinus ou du cosinus de tels angles.
• Une somme de sous-espaces vectoriels est souvent confondue avec la réunion de ces sous-espaces vectoriels.
• La majorité des candidats considère que
 

est directe si et seulement si, lorsque

, . Beaucoup estiment qu'une famille de vecteurs est libre si et seulement si ses vecteurs sont deux à deux indépendants.

• Si f est une application linéaire injective entre deux espaces vectoriels de dimension finie, ce n'est pas nécessairement un isomorphisme.
• La recherche d'une base d'un espace vectoriel donné par des équations cartésiennes est souvent considérée comme un problème difficile.
• "Le vecteur propre associé à une valeur propre" est une expression dépourvue de sens, tout comme "le supplémentaire d'un sous-espace vectoriel".
• Les notions de valeurs propres et de vecteurs propres sont au programme dans le cadre des espaces vectoriels de dimension infinie, contre l'avis de quelques candidats.
• Le calcul du polynôme caractéristique n'est pas l'unique méthode permettant d'obtenir les valeurs propres d'une matrice. La recherche d'un polynôme annulateur est souvent plus judicieuse. Parfois, Maple permet de conjecturer une base de vecteurs propres. Il suffit alors de le vérifier.
• La théorie permettant le calcul de la distance d'un point à un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien est connue, mais peu de candidats ont pensé à l'appliquer sur les exemples que nous avons proposés.

Nous finissons par quelques conseils à l'attention des futurs candidats.

• Il faut lire l'énoncé avec précision et dans son intégralité. Par exemple, il est dommage de réaliser au tableau que l'espace vectoriel de l'exercice est de dimension quelconque alors que la méthode développée pendant la préparation ne s'applique qu'au cas des espaces vectoriels de dimension finie.
• Il est préférable de ne pas attendre après chaque phrase l'assentiment de l'examinateur. Le silence de ce dernier ne doit pas être interprété négativement, mais simplement pour ce qu'il est : la volonté de ne pas intervenir pour l'instant.
• L'autonomie de l'étudiant est appréciée, mais, lorsqu'il ne progresse plus, son comportement devant une indication fournie par l'examinateur est pris en compte. Toutefois, il ne faut pas attendre que l'examinateur fournisse la solution de l'exercice. Ce n'est pas son rôle.